3.16.2.Determinacion de la transformada de laplace inversa usando los teoremas de heaviside

3.16.2.Determinacion de la transformada de laplace inversa usando los teoremas de heaviside

La función de heaviside se definio sobre el intervalo , pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general  para .

 

Ejemplo
Trazar la gráfica de la función .Solución
La función  está dada por

y su gráfica se muestra en la figura 1.5

Figura 1.5

Cuando la función de Heaviside  se multilplica por una función , definida para , ésta función se desactiva en el intervalo 

3.16.1 Transformada de la place mediante funciones inversas

3.16.1 Transformada de la place mediante funciones inversas

Una de las estrategias que pueden emplearse para obtener la transformada Inversa de Laplace (o Z) de una función racional de polinomios en s (o z):

consiste en reescribir F(s) (o F(z)) como suma de funciones más sencillas, cuyas transformadas inversas sean posibles de obtener mediante la lectura de las tablas de parejas. Este procedimiento se conoce como la expansión en fracciones parciales.

El procedimiento general puede enumerarse como sigue:

1.         Si m>n entonces se realiza la división hasta obtener una fracción en la que el grado del polinomio del denominador sea mayor al del numerador; en los siguientes puntos se trabaja sólo con la fracción.

Ejemplo 2.5 

1. Identificar las raíces del polinomio del denominador (pi), y cuántas veces se repite cada una de ellas (ri, o multiplicidad de la raíz).

 Evidentemente la suma de las multiplicidades será  , el grado del polinomio D(s)

2. Escribir la fracción como suma de de fracciones parciales:

3. Obtener los coeficientes Aij

Este sencillo procedimiento tiene dos puntos de dificultad, el primero de los cuales es cómo encontrar las raíces de D(s), y el segundo cómo obtener los coeficientes Aij.

Para la obtención de las raíces suponemos que disponemos de algún tipo de procedimiento (analítico o computacional) para ello. Para la obtención de los coeficientes Aij, por su parte, pueden seguirse los siguientes procedimientos, según sea el caso:

1. Polos de multiplicidad 1 Si el polo pi tiene multiplicidad 1, el coeficiente Ai1 de la expansión podrá calcularse como:

Ejemplo 2.6  

3.9 Transformada integral

3.9 Transformada integral

Una transformada integral es cualquier transformada T aplicada sobre la función f(x) de la forma siguiente:

La entrada de esta función T encontramos una función f(t), y la salida otra función F(u). Una transformada es un tipo especial de operador matemático. En ella t1 y t2 son dos valores que dependen de su definición, y pueden variar desde +infinito  hasta -infinito.

Hay numerosas transformadas integrales útiles. Cada una depende de la función K de dos variables escogida, llamada la función núcleo o kernel de la transformación.

Algunos núcleos tienen una K inversa asociada, K − 1(u,t) , que (más o menos) da una transformada inversa:

Un núcleo simétrico es el que es inalterado cuando las dos variables son permutadas.

Ejemplo de uso

Como un ejemplo de un uso de las transformadas integrales, podemos considerar la Transformada de Laplace. Esto es una técnica que mapea ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo, en ecuaciones polinomiales en lo que es llamado el dominio de frecuencia compleja (La frecuencia compleja es similar a la frecuencia real, física, pero es más general. Expresamente, el componente imaginario ω de la frecuencia compleja s = -σ + iω corresponde al concepto habitual de velocidad angular, que se relaciona con la frecuencia por la identidad ω = 2π f). Para su aplicación deben cumplirse ciertas condiciones en las funciones en que se aplicará, siendo la principal que estas deben cumplir con el principio de linealidad. Al trabajar con muchas transformadas, entre ellas la de Laplace, se facilitan los cálculos al contar con tablas para las transformaciones más comunes y sus propiedades.

Tabla de transformadas

En los límites de integración para la transformada inversa, c es un constante que depende de la naturaleza de la función transformada. Por ejemplo, para las transformaciones de Laplace simple y bilateral, c debe ser mayor que la parte real más grande de los ceros de la función transformada.

3.10 Teorema de convolución

En matemática, el teorema de convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la Transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).
Sean f y g dos funciones cuya convolución se expresa con f*g . (Notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ). Sea F el operador de la transformada de Fourier, con lo que F[f] y F[g]  son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.
Entonces

Donde · indica producto punto. También puede afirmarse que:

Aplicando la transformada inversa de Fourier F^-1 , podemos escribir:

Demostración
La demostración funciona para normalizaciones unitarias y no unitarias de la transformada de Fourier, pero en la versión unitaria tiene factores extras de que son inconvenientes aquí. Sean

 

Sean F la transformada de Fourier de f y G la transformada de Fourier de g:

Sea h la convolución de f y g

Nótese que

Del teorema de Fubini tenemos que

 así que su transformada de Fourier está definida. Sea H la transformada de Fourier de h:

Obsérvese que

y gracias al argumento de arriba podemos aplicar nuevamente el teorema de Fubini:

Sustituyendo y = z − x; tenemos dy = dz, y por lo tanto:

Estas dos integrales son las definiciones de F(ω) y G(ω), así que:

Que es lo que queríamos demostrar.

Referencias

A.      D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_integral#Ejemplo_de_uso

3.11 Transformada de laplace de una funcion periodica

Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces

Determine la transformada de la función cuya gráfica es:

Solución
Esta función es periódica con período T=2 y para el cálculo de su transformada podemos utilizar la fórmula:

Puesto qur la función es seccionada en el intervalo [0,2] entonces la integral se calcula también por secciones:

Así:

Por tanto

3.12 Funcion delta dirac

Delta de Dirac es una “función generalizada” que viene definida por la siguiente fórmula integral:

\int_{-\infty}^\infty \delta(x-a) f(x) \, dx = f(a) \qquad \left[e.g. \int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1 \right ]

La Delta de Dirac no es una función estrictamente hablando puesto que se puede ver que requeriría tomar valores infinitos, a veces informalmente se define la delta de Dirac como el límite de una sucesión de funciones, que tienda a cero en todo punto del espacio excepto en un punto para el cual divergería hacia infinito de ahí la “definición convencional” dada por:

\delta(x) = \begin{cases} \infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases} ;

Comúnmente en física la Delta de Dirac se usa como una distribución de probabilidad idealizada, técnicamente de hecho es una distribución (en el sentido de Schwartz).

En términos del análisis dimensional, esta definición de δ(x) implica que δ(x) posee dimensiones recíprocas a dx.

3.13 La transformada de laplace de la funcion delta dirac

Es evidente que, hasta el momento, la transformada de Laplace no es más que otra técnica para la resolución de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, su popularidad (sobre todo en problemas de ingeniería) radica en que nos permite resolver ecuaciones en las cuales el término independiente puede ser sumamente "mal portado". En el caso de la ecuación (3), el término H(t) podría no ser una función continua (lo cual representa mejor a la realidad), con lo cual la función x(t) sería diferenciable por pedazos. El tipo de funciones H(t) que vamos a analizar son funciones que son nulas, excepto en algunos intervalos o instantes de tiempo predeterminados.

La función más simple de este tipo es la función escalón o función de Heaviside. Ésta se define para cualquier a = 0 como sigue:

Es fácil ver que su transformada de Laplace está dada por

Una variante de esta función es la siguiente:

Asimismo, tomando el límite cuando .t . 0 se define

A esta última función se la conoce como la función delta de Dirac. Llamamos función de impulso a cualquier función que se obtenga como una combinación lineal de deltas de Dirac.

Las funciones descritas arriba se ilustran en la figura 1.

3.14 Transformada inversa

La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir

si es que acaso 

 
Esta definición obliga a que se cumpla: 

y 

 3.15 Algunas transformadas inversas.

L^-1  es una transformada lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación lineal; esto es, si a y B son constantes,

en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.