3.11 Transformada de laplace de una funcion periodica

Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces

Determine la transformada de la función cuya gráfica es:

Solución
Esta función es periódica con período T=2 y para el cálculo de su transformada podemos utilizar la fórmula:

Puesto qur la función es seccionada en el intervalo [0,2] entonces la integral se calcula también por secciones:

Así:

Por tanto

3.12 Funcion delta dirac

Delta de Dirac es una “función generalizada” que viene definida por la siguiente fórmula integral:

\int_{-\infty}^\infty \delta(x-a) f(x) \, dx = f(a) \qquad \left[e.g. \int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1 \right ]

La Delta de Dirac no es una función estrictamente hablando puesto que se puede ver que requeriría tomar valores infinitos, a veces informalmente se define la delta de Dirac como el límite de una sucesión de funciones, que tienda a cero en todo punto del espacio excepto en un punto para el cual divergería hacia infinito de ahí la “definición convencional” dada por:

\delta(x) = \begin{cases} \infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases} ;

Comúnmente en física la Delta de Dirac se usa como una distribución de probabilidad idealizada, técnicamente de hecho es una distribución (en el sentido de Schwartz).

En términos del análisis dimensional, esta definición de δ(x) implica que δ(x) posee dimensiones recíprocas a dx.

3.13 La transformada de laplace de la funcion delta dirac

Es evidente que, hasta el momento, la transformada de Laplace no es más que otra técnica para la resolución de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, su popularidad (sobre todo en problemas de ingeniería) radica en que nos permite resolver ecuaciones en las cuales el término independiente puede ser sumamente "mal portado". En el caso de la ecuación (3), el término H(t) podría no ser una función continua (lo cual representa mejor a la realidad), con lo cual la función x(t) sería diferenciable por pedazos. El tipo de funciones H(t) que vamos a analizar son funciones que son nulas, excepto en algunos intervalos o instantes de tiempo predeterminados.

La función más simple de este tipo es la función escalón o función de Heaviside. Ésta se define para cualquier a = 0 como sigue:

Es fácil ver que su transformada de Laplace está dada por

Una variante de esta función es la siguiente:

Asimismo, tomando el límite cuando .t . 0 se define

A esta última función se la conoce como la función delta de Dirac. Llamamos función de impulso a cualquier función que se obtenga como una combinación lineal de deltas de Dirac.

Las funciones descritas arriba se ilustran en la figura 1.

3.14 Transformada inversa

La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir

si es que acaso 

 
Esta definición obliga a que se cumpla: 

y 

 3.15 Algunas transformadas inversas.

L^-1  es una transformada lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación lineal; esto es, si a y B son constantes,

en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.