josue garcia: 3.1 Definición de la Transformada de Laplace

3.1 Definición de la Transformada de Laplace

(Transformada de Laplace) Sea f (t) una función con dominio en [0, ∞). La Transformada de Laplace de f (t) es la función F (s) que se obtiene como sigue

1.-

Nótese que F (s) es una función en l a variable s cuyo dominio consta de todos los valor es de s para los cuales la integral (1) existe es decir es convergente. Además (1) es una integral impropia, por lo que

2.-

lo cual restringe las funciones f (t) que para las cuales puede existir transformada de Laplace.

Una primera forma de obtener la transformada de Laplace de una función, si es que esta tiene, nos la proporciona la definición, es decir que si tenemos una función f (t) cualesquiera, su transformada de Laplace se obtiene evaluando la integral dada en (1) o en forma equivalente (2) como en los siguientes ejemplos:

Determine la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

Utilizando la definición

Evaluando el límite de la última expresión nos damos cuenta que

de donde

siempre y cuando s > 1, de otra manera este límite no existiría.

Por lo tanto la transformada de Laplace de f (t) = et es

Transformada de Laplace

Algunos problemas que involucran ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes suelen tener como parte no homogénea una función f (t) que no es continua. El análisis de estos problemas es más sencillo cuando se utiliza el método de la transformada de Laplace.

3.2 Condiciones de Existencia de la Transformada de Laplace

Antes de enunciar el teorema de existencia de la transformada de Laplace de una función es preciso definir un concepto para el teorema de existencia de la TL (Transformada de Laplace) de una función.

Se dice que una función f (t) es de orden exponencial α si existen constantes positivas T y M tales que

para todo valor de t ≥ T .

En otras palabras, una función es de orden exponencial α, si se puede encontrar una función exponencial adecuada Me^αT que esté por en sima de la función f (t) a partir de un valor determinado para t.

La función

es de orden exponencial α = 1 ya que la función exponencial

ya que la función exponencial (en rojo) crece más rápido que f (t) (en azul) a partir de cierto valor T .

3.3 Transformadas de Laplace de Funciones basicas

En la siguiente tabla podemos encontrar las transformadas de Laplace de algunas funciones comunes. Una tabla más completa puede consultarse en ver ([?]).

3.4 Funciones Continuas a Trozos

Una ventaja de este tipo de transformaciones es que pueden aplicarse a funciones que son muy comunes dentro de la física-matemática a las cuales se conoce como funciones trozos, las cuales trataremos a continuación.

Se dice que una función f (t) definida en (a, b), tiene una discontinuidad de salto en t0 ∈ (a, b) si f (t) es discontinua en t0 y los límites por la derecha y por la izquierda de f (t) existen y son finitos.

Si consideramos la función

cuya gráfica es como sigue

Esta función tiene una discontinuidad de salto en t0 = 2 ya que

Se dice que una función f (t) es Continua por Segmentos o Continua a Trozos en un intervalo [a, b], si f (t) es continua en todo punto de [a, b], excepto posiblemente en un número finito de puntos en los que f (t) tiene una discontinuidad de salto

Consideremos ahora la función

cuya gráfica se presenta a continuación

Observe que en t = −3 y t = 3 la función tiene discontinuidad de salto, por lo que la función f (t) es continua a trozos.

3.5 Función Escalón Unitario o Heaviside

Una función que se utiliza muy comúnmente en el estudio de análisis de señales es la función Escalón Unitario o Heaviside que se define a continuación:

La función Escalón Unitario o Función de Heaviside se define como sigue