3.16.1 Transformada de la place mediante funciones inversas

3.16.1 Transformada de la place mediante funciones inversas

Una de las estrategias que pueden emplearse para obtener la transformada Inversa de Laplace (o Z) de una función racional de polinomios en s (o z):

consiste en reescribir F(s) (o F(z)) como suma de funciones más sencillas, cuyas transformadas inversas sean posibles de obtener mediante la lectura de las tablas de parejas. Este procedimiento se conoce como la expansión en fracciones parciales.

El procedimiento general puede enumerarse como sigue:

1.         Si m>n entonces se realiza la división hasta obtener una fracción en la que el grado del polinomio del denominador sea mayor al del numerador; en los siguientes puntos se trabaja sólo con la fracción.

Ejemplo 2.5 

1. Identificar las raíces del polinomio del denominador (pi), y cuántas veces se repite cada una de ellas (ri, o multiplicidad de la raíz).

 Evidentemente la suma de las multiplicidades será  , el grado del polinomio D(s)

2. Escribir la fracción como suma de de fracciones parciales:

3. Obtener los coeficientes Aij

Este sencillo procedimiento tiene dos puntos de dificultad, el primero de los cuales es cómo encontrar las raíces de D(s), y el segundo cómo obtener los coeficientes Aij.

Para la obtención de las raíces suponemos que disponemos de algún tipo de procedimiento (analítico o computacional) para ello. Para la obtención de los coeficientes Aij, por su parte, pueden seguirse los siguientes procedimientos, según sea el caso:

1. Polos de multiplicidad 1 Si el polo pi tiene multiplicidad 1, el coeficiente Ai1 de la expansión podrá calcularse como:

Ejemplo 2.6